Qbi's Weblog

Bei Holgi fand ich folgendes wunderbare Video. Es erzählt die Geschichte des Mathematikers Cantors, des Physikers Boltzmann sowie weiterer Größen. Ich finde das bisher (bin noch nicht am Ende) sehr sehenswert.

Stell dir vor, du schreibst einen mathematischen Text und musst einen Ausdruck der Form df/dt (als richtigen Bruch) schreiben. Der einfachste Weg, dies zu realisieren, wäre mittels \frac{df}{dt}. Das d muss jedoch aufrecht stehen. Also müsste man ein Konstrukt mit \mathrm{} oder ähnlichem basteln. Ähnlich sieht die Situation bei partiellen Ableitungen aus.

Ich stolperte vor kurzem über das Paket esdiff. Dies macht es sehr einfach, die obigen Konstrukte zu setzen. Für den obigen Ausdruck existiert der Befehl \diff{}{} und man würde schreiben: \diff{f}{t}. Für partielle Ableitungen lässt sich \diffp{}{} nutzen.

Insgesamt vereinfacht das Paket den Satz von Ableitungen und wird ab sofort zu meinem Standardrepertoire gehören.

In einem Rätsel fragte ich vor kurzem nach der Lösung zu folgendem Problem:

Wenn man das Ganze nun 29mal macht, also 2²⁹, erhält man eine neunstellige Zahl. Diese neun Zahlen sind voneinander verschieden. Da wir im normalen Leben mit 10 Zahlen (0, ..., 9) rechnen, muss hier also eine fehlen. Die Frage ist, welche Zahl ist das?

Nach den Kommentaren zu urteilen, haben viele ihre Lieblingsprogrammiersprache angeworfen, gerechnet und hatten das Ergebnis. Der Witz an dem Rätsel ist aber, die Lösung ohne solche Hilfsmittel und ohne explizites Errechnen zu ermitteln. Wie sieht nun ein möglicher Weg aus?

Überlegt euch zunächst mal ein paar Eigenschaften einer Zahl, die alle Ziffern von 0 bis 9 (im folgenden mal Oberzahl genannt) genau einmal enthält. Ist diese durch 2, 3, 4 usw. teilbar?

Was relativ schnell klar sein sollte, ist, dass die Zahl sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar ist. Die Teilbarkeitseigenschaft wird in beiden Fällen über die Quersumme ermittelt. Das Ergebnis von 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 wusste bereits der kleine Herr Gauß (und brachte damit seinen Lehrer zur Verzweiflung) und ist 45 (9*(9+1)/2). Da diese Zahl durch 3 und 9 teilbar ist, muss auch die ursprüngliche durch 3 und 9 teilbar sein. Wenden wir uns insbesondere der Teilbarkeit durch 9 zu.

Stellt euch vor, wir ziehen von der Oberzahl (also der, die alle Zahlen von 0 bis 9 einmal enthält) 1 ab und schauen, ob das Ergebnis durch 9 teilbar ist. Dies ist natürlich nicht mehr der Fall. Dividieren durch 9 ergibt irgendetwas mit Rest 8 (oder auch mit Rest -1). Auch die Quersumme ist nun 44, also eine Zahl, die den Rest 8 (oder auch -1) ergibt, wenn man sie durch 9 teilt. Andererseits könnte man von der Oberzahl einfach eine Zahl weglassen und schauen, was Division durch 9 ergibt. Wenn ihr also die 1 aus der Zahl entfernt, ist die Quersumme wieder 44, also eine Zahl mit Rest 8 (modulo 9). Das heißt, mit diesem Wissen müssen wir uns nun anschauen, welchen Rest die Zahl 2²⁹ bei der Division mit 9 hat.

Im einfachsten Fall kann man sich dazu die ersten Glieder der Folge ausrechnen und schauen, ob es Regelmäßigkeiten gibt:
2⁰=1?=1 (mod 9)
2¹=2?2 (mod 9)
2²=4?4 (mod 9)
2³=8?8 (mod 9)
2⁴=16?7 (mod 9)
2⁵=32?5 (mod 9)
2⁶=64?1 (mod 9)
2⁷=128?2 (mod 9)
2⁸=256?4 (mod 9)
Wer die Notation nicht kennt: n (mod 9) bedeutet, geteilt durch 9 mit Rest n.

Es ist hier also ein Zyklus 1, 2, 4, 8, 7, 5 zu erkennen. Wenn man den Zyklus bis 29 betrachtet, erhält man das Ergebnis 2²⁹=5 (mod 9).

Der eher mathematische Weg wäre, den Satz von Euler geeignet auszunutzen. Da muss man die obigen Schritte nicht mühselig per Hand rechnen, sondern bekommt das Ergebnis gleich präsentiert.

Im obigen Beispiel war das Ergbnis Rest 8, da von der Oberzahl 1 abgezogen wurde. Hier erhalten wir als Ergebnis 5. Also fehlt in 2²⁹ die Zahl 4.

Bild von eqqman

Zu Anfang der Woche habe ich ein kleines Rätsel für alle Freunde der Mathematik. Ich fand das bei God Plays Dice und habe es unten mal ins Deutsche gebracht.

Die Potenzrechnung dürfte euch allen noch aus der Schule bekannt sein. Freunde der Bits und Bytes rechnen gern zur Basis 2. Das heißt zum Beispiel 2¹=2, 2²=2·2=4, 2³=2·2·2=8 usw. Wenn man das Ganze nun 29mal macht, also 2²⁹, erhält man eine neunstellige Zahl. Alle dDiese neun Zahlen sind voneinander verschieden. Da wir im normalen Leben mit 10 Zahlen (0, ..., 9) rechnen, muss hier also eine fehlen. Die Frage ist, welche Zahl ist das? Wer hat eine Idee?

Update: Satzbau oben nach dem Kommentar von Sven geändert.

Im Rahmen eines Seminars an der Uni hielt ich kürzlich einen Vortrag über AES und eine Einführung in Public-Key-Kryptografie. Die Unterlagen sind als PDF-Dokument verfügbar. Zum Grundverständnis finde ich auch diese Animation interessant. Sie enthält aus mathematischer Sicht nur ein paar Unzulänglichkeiten.

Der Vortrag verlief aus meiner Sicht sowie der der Teilnehmer gut. Nur der betreuende Professor meinte, er finde es schade, dass so wenig Mathematik dabei ist.

Mittlerweile gibt es einen neuen Angriff auf den Algorithmus. Bruce Schneier verweist im Beitrag New attack on AES auf die Veröfentlichung. Die Autoren haben auch eine FAQ zu den wichtigsten Fragen des Angriffs. Ich muss das demnächst mal lesen und verstehen.

Viele scheint die Frage zu bewegen, wie man Brüche und insbesondere große Brüche in LaTeX schreiben kann. Üblich ist die Verwendung von \frac{}{}. Das führt zu der gewohnten Darstellung eines Bruches. Manchmal ist es besser, den Bruch mit einem Schrägstrich zu setzen (so wie 1/2). Hierzu muss mittels \usepackage{nicefrac} das Paket nicefrac eingebunden werden. Danach steht der Befehl \nicefrac{}{} zur Verfügung. Wie bei \frac{}{} kommt in die erste geschweifte Klammer der Term oberhalb des Bruchstriches und in die zweite der Term unterhalb des Bruchstriches.

Für eine Seminararbeit zu AES werte ich unter anderem auch Angriffe gegen den Algorithmus aus. Die Forscher Ferguson, Schroeppel und Whiting stellten 2001 in A simple algebraic representation of Rijndael (PDF) AES als Kettenbruch dar:

Wie macht man das mit LaTeX? Eigentlich ganz einfach! Man könnte den Ausdruck mittels \frac{}{} verschachteln. Das sieht aber recht unschön aus, da der Abstand im Nenner gleich bleibt und so die Ausrdrücke unlesbar werden. Das AMS-Paket bietet den Befehl \cfrac{}{} (steht für continued fractions). Damit kann man das obenstehende erreichen. In der erweiterten Ansicht des Artikels habe ich den kompletten Quelltext für obiges Beispiel.

Zum meinem Geburtstag bekam ich recht viele Bücher geschenkt. Eines davon war Der Mathematikverführer von Christoph Drösser. Das Buch hatte ich bereits vor einigen Wochen in einer Buchhandlung gesehen. Nach kurzem Durchblättern entschied ich mich damals gegen den Kauf.

Um was geht es? Der Autor erklärt mathematische Problemstellungen anhand praktischer Beispiele. Zunächst geht es um das Rechnen allgemein. Es wird erklärt, ob es sich für den Chef der Deutschen Bank lohnt, einen Fünf-Euro-Schein, der vor seiner Tür liegt, aufzuheben (Wenn er länger als fünf Sekunden für den Gang braucht, hat er in derselben Zeit mehr verdient), wieviele Hartz-IV-Empfänger von den Kosten eines Eurofighters bezahlt werden können etc. Das erste Kapitel bot für mich ein Aha-Erlebnis. Folgendes “Spiel” wird beschrieben:

Stellen Sie sich ­ [...] ­ folgendes Spiel vor: Jemand hat am Rand der Autobahn von Hamburg nach Berlin eine zwei Zentimeter breite und zwei Meter hohe Latte in den Boden geschlagen. Irgendwo zwischen Hamburg und Berlin, Sie haben keine Ahnung, wo. Sie fahren die Strecke nachts mit dem Auto und haben eine Pistole dabei. Zu einem beliebigen Zeitpunkt, den Sie frei wählen können, kurbeln Sie die Fensterscheibe herunter und schießen in Richtung Straßenrand. Einmal. Wenn Sie die Latte treffen, haben Sie gewonnen.

Das Spiel beschreibt natürlich die Lottovariante 6 aus 49. Ich denke, hiermit lässt sich vielen die Chance beim Lotto greifbar machen. Für einen Sechser mit Zusatzzahl muss es dann eine zwei Millimeter dicke Latte sein.

Das folgende Kapitel beschreibt bedingte Wahrscheinlichkeiten am Beispiel von DNA-Tests und es folgt ein Kapitel zum Dreisatz. Die Anordnung dieser wie auch anderer Kapitel könnte besser sein. Denn der Dreisatz ist vergleichsweise leichter Stoff. Immerhin wird der schon in der Schule behandelt. Wahrscheinlichkeiten kommen nach meiner Beobachtung als Schulstoff eher zu kurz und könnten daher von der Mehrzahl der Leser als schwieriges Thema beurteilt werden. Ich finde es besser, wenn sich der Schwierigkeitsgrad langsam steigert.

Die weiteren Kapitel bringen eine Einführung in das Gerrymandering, zum simpsonschen Paradoxon, zum Problem des Handlungsreisenden und einigem mehr. Die meisten der diskutierten Problemstellungen waren mir bekannt. Daher habe ich meist nur die Geschichte zur Einführung gelesen und die Erklärungen übersprungen. Die Geschichten fand ich recht unterhaltsam. Sie haben gut in das jeweilige Thema eingeführt und auch Interesse geweckt, was denn nun kommt. Die Stellen mit den Erklärungen, die ich las, hatten wieder den üblichen Mangel. Der Autor versuchte sämtliche ernsthafte Mathematik wegzulassen. Gerade bei den Extremwertaufgaben wurde irgendwo im Kleingedruckten der Lösungsweg präsentiert. Der eigentliche Text ließ diesen aus.

Insgesamt ist das Buch eine gute Zusammenstellung verschiedener mathematischer Phänomene. Die Geschichten zur Motivation sind gut geschrieben und ich kann mir gut vorstellen, dass das Buch bei einem Mathematikinteressierten mehr Interesse weckt. Diejenigen, die sich auch sonst mit Matheproblemen beschäftigen, wird das Buch wohl nicht vom Hocker hauen. Denn größtenteils steht Bekanntes drin.