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Von Primzahlen geht für viele eine große Faszination aus das Thema
wird aus verschiedenen Richtungen gern beleuchtet. Sehr alt ist dabei
die Fragestellung, wie viele Primzahlen es denn gibt. Euklid fand neben
anderen die Antwort auf diese Frage: Es gibt unendlich viele
Primzahlen. Sein Beweis ist recht einleuchtend.
Stellen wir uns vor, es gäbe nur endlich fünf Primzahlen (In der
Regel sagt man: endlich viele
) p1, p2, p3, p4 und p5. Dann
berechnet man eine neue Zahl z = p1*p2*p3*p4*p5+1, d.h. alle
Primzahlen werden multipliziert und anschließend wird die Zahl 1
addiert. Keine der bisherigen Primzahlen teilt diese Zahl z. Da aber
jede natürliche Zahl einen Primteiler besitzt, muss der außerhalb der
bisher bekannten
Primzahlen liegen, d.h. es gibt mindestens
eine neue Primzahl p6. Die Aussage lässt sich dann wieder anwenden und
so ergibt sich, dass die Zahl der Primzahlen nicht endlich sein
kann.
Bei Mathoverflow wurden
diverse Fehleinschätzungen
diskutiert. Unter anderem zählte dazu, dass die oben konstruierte
Zahl z eine Primzahl sei. Wenn man den Beweis oberflächlich liest
(siehe auch die Skripte zu Algebra 1
oder Zahlentheorie),
könnte man in der Tat zu dem Schluss kommen. Die Zahlen 2, 3, 5, 7, 11
und 13 liefern jedoch ein Gegenbeispiel.
Schlimm finde ich dann die in dem Posting angegebenen Beispiele von
Leerern (sic!), die ihre Schülern unter Beschimpfungen vor die Tür
stellen, weil sie auf den obigen Umstand hinweisen und den auch noch
beweisen.